Sistema de numeração binário
O sistema
binário ou de base 2 é um sistema de numeração posicional em que todas as
quantidades se representam com base em dois números, ou seja, zero e um (0 e
1).[1][2]
Os computadores
digitais trabalham internamente com dois níveis de tensão, pelo que o seu
sistema de numeração natural é o sistema binário (aceso, apagado).[3] Com
efeito, num sistema simples como este é possível simplificar o cálculo, com o
auxílio da lógica booleana. Em computação, chama-se um dígito binário (0 ou 1)
de bit, que vem do inglês Binary Digit. Um agrupamento de 8 bits corresponde a
um byte (Binary Term). Um agrupamento de 4 bits, ainda, é chamado de nibble.
Um processador é
formado por milhares de blocos lógicos complexos, formados por portas lógicas
básicas, e o funcionamento destas está amparado por um postulado fundamental a
eletrônica digital que determina que um circuito opere apenas com 2 níveis de
tensão bem definidos. Em um circuito digital TTL (Transistor Transistor Logic),
os dois níveis de tensão padronizados são 0V (zero volt) e 5V (cinco volts). Ao
projetar um sistema digital, ao invés de trabalhar com níveis de tensão
trabalha-se com níveis lógicos, então, no caso do circuito TTL, 0V será
representado por “0” e 5V será representado por “1”, e os níveis de tensão
entre eles serão ignorados, ou seja, adotar-se-à uma faixa até a qual será
considerado nível lógico zero, e a partir dela, nível lógico 1. Neste caso, de
0V a 2,5V temos “0”, e a partir daí até 5V temos “1”.
O sistema
binário é base para a Álgebra booleana (de George Boole - matemático inglês),
que permite fazer operações lógicas e aritméticas usando-se apenas dois dígitos
ou dois estados (sim e não, falso e verdadeiro, tudo ou nada, 1 ou 0, ligado e
desligado).[4] Toda a electrónica digital e computação está baseada nesse
sistema binário e na lógica de Boole, que permite representar por circuitos
electrónicos digitais (portas lógicas) os números, caracteres, realizar
operações lógicas e aritméticas. Os programas de computadores são codificados
sob forma binária e armazenados nas mídias (memórias, discos, etc) sob esse
formato.
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Os computadores
digitais trabalham internamente com dois níveis de tensão, pelo que o seu
sistema de numeração natural é o sistema binário (aceso, apagado). Com efeito,
num sistema simples como este é possível simplificar o cálculo, com o auxílio
da lógica booleana. Em computação, chama-se um dígito binário (0 ou 1) de bit,
que vem do inglês Binary Digit. Um agrupamento de 8 bits corresponde a um byte
(Binary Term). Um agrupamento de 4 bits é chamado de nibble.
O sistema
binário é base para a Álgebra booleana (de George Boole - matemático inglês),
que permite fazer operações lógicas e aritméticas usando-se apenas dois dígitos
ou dois estados (sim e não, falso e verdadeiro, tudo ou nada, 1 ou 0, ligado e
desligado). Toda eletrônica digital e computação está baseada nesse sistema
binário e na lógica de Boole, que permite representar por circuitos eletrônicos
digitais (portas lógicas) os números, caracteres, realizar operações lógicas e
aritméticas. Os programas de computadores são codificados sob forma binária e
armazenados nas mídias (memórias, discos, etc) sob esse formato.
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A conversão
entre sistemas numéricos é feita com base em algumas regras e serve para que se
obtenha o valor de um elemento no sistema numérico mais adequado a cada
situação. Entre os sistemas numéricos mais utilizados na computação há o
binário, decimal, octal e sistema hexadecimal. Cada um destes apresentando sua
própria faixa de valores possíveis, e cada um possui uma aplicação específica,
dentro da Ciência da Computação.
Índice [esconder]
1 Sistema
binário
1.1 Conversão de
decimal em binário
1.2 Conversão de
Binário para Decimal
2 Hexadecimal
2.1 Conversão de
Decimal para Hexadecimal
2.2 Conversão de
Hexadecimal para Decimal
3 Octal
3.1 Conversão de
Decimal para Octal
3.2 Conversão de
Octal para Decimal
4 Ver também
[editar]Sistema
binário
[editar]Conversão
de decimal em binário
Para realizar a
conversão utiliza-se o método de divisão repetida.
Para converter,
por exemplo, o número decimal 1985 em binário deve-se fazer o seguinte:
Dividir o número
decimal por 2. Caso o resultado seja exato, aquela divisão terá resto 0 (zero),
se não for exato terá resto 1 (um). Esse valor deve ser anotado da direita para
a esquerda ou como explicado abaixo do exemplo.
Deve-se dividir
o número até que o quociente da divisão seja igual a 0 (zero).
Divisão Quociente Resto
1985/2
992 1
992/2 496 0
496/2 248 0
248/2 124 0
124/2 62 0
62/2 31 0
31/2 15 1
15/2 7 1
7/2 3 1
3/2 1 1
1/2 0 1
Observe que o
resultado é obtido juntando o resultado da última para a primeira divisão, ou
seja, de baixo para cima, onde o resultado é o seguinte número binário: 11111000001.
Outra forma
desta conversão (mais prática) é ir subtraindo o número em decimal das
potências de base 2 até dar 0. Subtraia da maior potência de base 2 possível.
Deve se marcar 1 quando você efetua a subtração, e 0 no restante (os zeros à
esquerda devem ser desprezados).
Por exemplo:
128 64 32 16 8 4 2 1
22 --> 0
0 0 1 0 1 1 0
Logo 22 em
decimal = 10110 em binário
O maior número
de base 2 possível pra ser subtraído de 22 é 16, sobrando 6. O maior número
possível para subtrair de 6 é 4, sobrando 2. O maior número a ser subtraído de
2 é o próprio 2, resultando 0 e assim finalizando a conversão.
Outro exemplo:
128 64 32 16 8 4 2 1
35 --> 0
0 1 0 0 0 1 1
logo 35 em
decimal = 100011 em binário
pois: 35 - 32 =
3
3 - 2 = 1
1 - 1 = 0
Se o número em
decimal é menor que zero, toma-se o valor absoluto, ex. "-5" -->
"5", iniciamos o quociente com um quociente > 1, enquanto o
quociente for maior que 1 faz-se consecutivamente a divisão do valor absoluto
por 2 e iguala-se imediatamente a seguir o valor absoluto ao valor do
quociente. Se o número de vezes em que foi possível dividir por 2 e obter um
quociente > 1 for inferior a um valor múltiplo de 8 então acrescenta-se a
esse número vezes o valor que for necessário para chegar ao próximo múltiplo de
8. A seguir pega-se no número de vezes e cria-se uma variável que será igual a
[2^(Número de vezes)]+[número decimal negativo inicial] A seguir pega-se no
valor desta variável e converte-sa para binário como visto em cima.
Se o número em
decimal tiver casas decimais, ex (1.34) acrescentamos à expressão em binário um
"." e considera-se um número de vezes em que se pretenda converter
para binário a parte de casas decimais ex: enquanto não chegar a 50 vezes
fazemos a parte com casas decimais ser multiplicada por 2, a seguir agarramos
na parte à esquerda da virgula do resultado desta multiplicação e adicionamo-la
à conversão em binário à direita do ".".
Em JavaScript
poderia ser feito assim:
function
decParaBin( numDecimal ) {
for ( binário = []; numDecimal > 1;
) {
resto = Math.floor( numDecimal
% 2 );
numDecimal /= 2;
binário.unshift( resto == 1 ? 1 : 0 );
}
if ( !/[^0]/.test( binário.join('') ) )
binário.unshift( 1 );
return binário.join('');
}
//Ou
x = 170;
x.toString( 2 );
//10101010
[editar]Conversão
de Binário para Decimal
1
1 1 1
1 0 0
0 0 0
1
2^10 * 1 2^9 * 1
2^8 *1 2^7 * 1 2^6 * 1
2^5 * 0 2^4 * 0 2^3 * 0
2^2 * 0 2^1 * 0 2^0 * 1
+ +
+ + +
+ + +
+ +
1024
512 256 128
64 0 0
0 0 0
1
=
1985
Da direita para
a esquerda elevamos 2 à potência do índice e multiplicamos pelo dígito binário
identificado por esse índice. Desta forma o primeiro dígito binário que
encontramos é o 1 no índice 0 , assim temos: 2^0 * 1. Após realizarmos essa
operação para todos os zeros para todos os dígitos, somamos o resultado. O
resultado desta soma é o número que estamos buscando.
Em JavaScript:
function
binParaDec( numBinário ) {
var base2 = [],
decimal = 0,
binário = numBinário.toString();
for ( i = binário.length, j = 1; --i
> -1; j *= 2 ) base2.unshift( j );
for ( i in binário ) {
if ( binário[i] == 0 ) delete base2[i];
else decimal += base2[i];
}
return decimal;
}
//Ou
simplesmente
x = 10101010;
parseInt( x, 2
); //170
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O sistema
decimal é muito usado no cotidiano, pois nos oferece uma forma mais simples de
manipular os números em determinadas situações matemáticas, é composto por dez
números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
O uso da
Matemática em situações diversas não diz respeito somente ao homem, os computadores
utilizam números para efetuar cálculos complexos com uma maior rapidez e
praticidade. O sistema binário é usado pelos computadores é e constituído de
dois dígitos o 0 e o 1. A combinação desses dígitos leva o computador a criar
várias informações: letras, palavras, textos, cálculos.
A criação do
sistema de numeração binária é atribuída ao matemático alemão Leibniz.
Numeração
Binária e Numeração Decimal
Transformando
decimal em binário
14(base10) =
1110(base2)
14 / 2 = 7 resto
0
7 / 2 = 3 resto
1
3 / 2 = 1 resto
1
36(base10) =
100100(base2)
36 / 2 = 18
resto 0
18 / 2 = 9 resto
0
9 / 2 = 4 resto
1
4 / 2 = 2 resto
0
2 / 2 = 1 resto
0
O número binário
será formado agrupando o último resultado seguido dos restos das divisões
anteriores.
Transformando
binário em decimal
110100(base2) =
52 (base10)
1
1
0
1
0
0
casa 6
casa 5
casa 4
casa 3
casa 2
casa 1
25
24
23
22
21
20
1 x 25
1 x 24
0 x 23
1 x 22
0 x 21
0 x 20
1 x 32
1 x 16
0 x 8
1 x 4
0 x 2
0 x 1
32
16
0
4
0
0
32 + 16 + 0 + 4
+ 0 + 0 = 52
1100100(base2) =
100(base10)
1
1
0
0
1
0
0
casa 7
casa 6
casa 5
casa 4
casa 3
casa 2
casa 1
26
25
24
23
22
21
20
1 x 26
1 x 25
0 x 24
0 x 23
1 x 22
0 x 21
0 x 20
1 x 64
1 x 32
0 x 16
0 x 8
1 x 4
0 x 2
0 x 1
64
32
0
0
4
0
0
64 + 32 + 0 + 0
+ 4 + 0 +0 = 100.
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numera%C3%A7%C3%A3o_bin%C3%A1rio
